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这是一王人本年陕西中考的压轴大题,题目难度较大,化曲为折,猖獗处理。最值条目之后的最值,是个小坑,交融到位相等迫切。
【求解-(1)】
点P、点M都是动点,无法径直求解,须将问题进行更正。
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如上图,点P在圆O上,容易思到谄媚OP,
若是能求出OP+PM的最小值,而半径OP是定值,易求PM的最小值。
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如上图,过点O作念OM'⊥AB交圆O于点P'
则(OP+PM)min = OM’ (垂线段最短)
在Rt△OAM'中,AM'=AB/2(等腰△,底边上的中线、高线、角中分线三线合一)
∠AOM'= ∠AOB /2 = 60°,
故OM' = AM'/tan∠AOM'= 4√3
故P'M' = OM'-OP' = 4√3 - 4
是以 PMmin = P'M' = 4√3 - 4
【求解-(2)】
依题意,BN、PE并不相邻,但点N、点P都在圆O上,圆O半径是定值,故磋商通过半径将两条不相邻的线段谄媚起来,组成折线,再磋商化折为直,就容易求解了。
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如上图,过点O作念OB'∥NB,交BC于点B',
易证ONBB'是平行四边形(对边彼此平行)
是以BB' = ON = 30, 是定值,故点B'是定点。
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至此,待求式PE+BN的线段和 ,就更正为PE+OP+OB'的折线长度
显着这条折线的最小值即是两定点E、B'之间的距离(两点之间线段最短)
这是本题的枢纽的枢纽之处。
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如上图所示,谄媚B'E,则此时点O的畅通轨迹即是B'E在矩形AFDE内的部分。
提防到题目要求是当BN+PE最小时,求OM的最小值。
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如上图,显着当圆O与FD相切时,点O到AB的距离最短。
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如上图,过点B'作念B'Q⊥AE交M'N'于点G,垂足为Q,
而四边形AQB'B是矩形。
显着有Rt△B'GO'∽Rt△B'QE
B'G=AB-DE+OH = 4030
B’Q=AB=10000,QE=AE-AQ=10000-30=9970
是以O'G/QE=B'G/B'Q
易求O'G = 4017.91
是以O'M' = O'G+M'G = 4047.91
即当BN+PE最小时,OMmin = O'M' = 4047.91
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